Математический маятник - это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Математический маятник - это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожна мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.
Колебательную систему в данном случае образуют нить, присоединенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.
где а х – ускорение, g – ускорение свободного падения, х - смещение, l – длина нити маятника.
Это уравнение называется уравнением свободных колебаний математического маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:
2) рассматриваются лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха.
Свободные колебания любых систем во всех случаях описываются аналогичными уравнениями.
Причинами свободных колебаний математического маятника являются:
1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, препятствующей его смещению из положения равновесия и заставляющей его снова опускаться.
2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.
Период свободных колебаний математического маятника
Период свободных колебаний математического маятника не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.
Превращение энергии при гармонических колебаниях
При гармонических колебаниях пружинного маятника происходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела в его кинетическую энергию , гдеk – коэффициент упругости,х - модуль смещения маятника из положения равновесия,m - масса маятника,v - его скорость. В соответствии с уравнением гармонических колебаний:
,
.
Полная энергия пружинного маятника:
.
Полная энергия для математического маятника:
В случае математического маятника
Превращения энергии при
колебаниях пружинного маятника происходи
в соответствии с законом сохранения
механической энергии (
).
При движении маятника вниз или вверх
от положения равновесия его потенциальная
энергия увеличивается, а кинетическая
- уменьшается. Когда маятник проходит
положение равновесия (х
= 0), его потенциальная
энергия равна нулю и кинетическая
энергия маятника имеет наибольшее
значение, равное его полной энергии.
Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.
Вынужденные колебания. Резонанс.
Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями . Внешняя периодическая сила, называемая вынуждающей, сообщает колебательной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, происходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или косинуса, то вынужденные колебания будут гармоническими и незатухающими.
В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из состояния равновесия), в случае вынужденных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периодической силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на преодоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему остается неизменной.
Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы . В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной частотой колебательной системы υ 0 , происходит резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний - резонанс . Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ 0 внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает положительную работу: энергия колеблющегося тела увеличивается, и амплитуда его колебаний становится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний А т от частоты вынуждающей силы υ представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:
Явление резонанса играет большую роль в ряде природных, научных и производственных процессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.
Повторение
Полная механическая энергия тела
\(W=W_{k} +W_{p1} +W_{p2}, \; \; \; W_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2}, \; \; \; W_{p1} =m\cdot g\cdot h, \; \; \; W_{p2} =\frac{k\cdot \Delta l^{2} }{2},\)
где W k - кинетическая энергия тела в данный момент времени (энергия движения), m - масса тела, υ - значение скорости тела в данный момент времени, W p 1 - потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h , в данный момент времени (энергия взаимодействия), h - высота подъема тела в данный момент времени, W p 2 - потенциальная энергия деформированного тела в данный момент времени, Δl - абсолютное удлинение тела в данный момент времени.
Если в замкнутой системе нет внешних сил (например, силы трения), то полная механическая энергия замкнутой системы сохраняется.
Математический маятник
Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.
При колебаниях математического маятника изменяется высота h грузика относительно положения равновесия и изменяется его скорость υ (рис. 1). Причем при максимальных смещениях высота достигает максимального значения h max , а скорость становится равной нулю, в положении равновесия наоборот: высота тела равна нулю, а скорость достигает максимального значения υ max .
Так как высота тела определяет его потенциальную энергию W p \(\left(W_{p} =m\cdot g\cdot h\right),\) а скорость - кинетическую энергию W k \(\left(W_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2} \right),\) то вместе с изменением высоты и скорости, будут изменяться и энергии.
Обозначения в таблице:
\(W_{p\; \max } = m\cdot g\cdot h_{\max }, \; \; \; W_{p2} =m\cdot g\cdot h_{2}, \; \; \; W_{p4} =m\cdot g\cdot h_{4}, \; \; \; W_{p6} =m\cdot g\cdot h_{6},\)
Пружинный маятник
Рассмотрим превращения энергии при колебаниях горизонтального пружинного маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.
При колебаниях пружинного маятника изменяется абсолютное удлинение пружины Δl относительно положения равновесия (т.е. изменяется смещение грузика x = Δl ) и изменяется скорость грузика υ (рис. 3). Причем при максимальных смещениях абсолютное удлинение достигает максимального значения Δl max , а скорость становится равной нулю, в положении равновесия наоборот: абсолютное удлинение равно нулю, а скорость достигает максимального значения υ max .
Так как абсолютное удлинение пружины определяет ее потенциальную энергию W p \(\left(W_{p} =\frac{k\cdot \Delta l^{2}}{2} \right),\) а скорость - кинетическую энергию W k \(\left(W_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2} \right),\) то вместе с изменением абсолютного удлинения и скорости, будут изменяться и энергии.
Обозначения в таблице:
\(W_{p\; \max } =\frac{k\cdot x_{\max }^{2} }{2}, \;\;\; W_{p2} =\frac{k\cdot x_{2}^{2} }{2}, \;\;\; W_{p4} =\frac{k\cdot x_{4}^{2} }{2}, \;\;\; W_{p6} =\frac{k\cdot x_{6}^{2} }{2},\)
\(W_{k\; \max } =\frac{m\cdot \upsilon _{\max }^{2} }{2}, \; \; \; W_{k2} =\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{k4} =\frac{m\cdot \upsilon _{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{k6} =\frac{m\cdot \upsilon _{6}^{2} }{2}.\)
Полная энергия маятника сохраняется с течением времени, поскольку нет силы трения. Тогда
\(W=W_{k\, \max } = W_{p\, \max } = W_{k2} + W_{p2} = W_{k4} +W_{p4} = ...\)
Если для вертикального пружинного маятника выбрать систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю, то все описанное выше для горизонтального маятника можно применить для данного маятника.
Литература
- Жилко, В.В. Физика: учеб. Пособие для 11 класса общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения / В.В.Жилко, Л.Г.Маркович. - Минск: Нар. Асвета, 2009. - С. 19-21.
Определение
Математический маятник - это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.
Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.
Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.
Уравнение движения математического маятника
Математический маятник - классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:
\[\ddot{\varphi }+{\omega }^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]
где $\varphi $ - угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.
Решением уравнения (1) является функция $\varphi (t):$
\[\varphi (t)={\varphi }_0{\cos \left({\omega }_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ }\]
где $\alpha $ - начальная фаза колебаний; ${\varphi }_0$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая частота.
Колебания гармонического осциллятора - это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.
Циклическая частота и период колебаний математического маятника
Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:
\[\ {\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}\left(3\right).\]
Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:
Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.
Уравнение энергии для математического маятника
При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:
где $E_k$ - кинетическая энергия маятника; $E_p$ - потенциальная энергия маятника; $v$ - скорость движения маятника; $x$ - линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол - смещение связан с $x$ как:
\[\varphi =\frac{x}{l}\left(6\right).\]
Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:
Максимальная величина кинетической энергии:
где $h_m$ - максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m={\omega }_0x_m$ - максимальная скорость.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?
Решение. Сделаем рисунок.
Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:
\[\frac{mv^2}{2}=mgh\ \left(1.1\right).\]
Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:
Ответ. $h=\frac{v^2}{2g}$
Пример 2
Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1\ м$, совершает колебания с периодом равным $T=2\ с$? Считайте колебания математического маятника малыми.\textit{}
Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:
Выразим из нее ускорение:
Проведем вычисления ускорения силы тяжести:
Ответ. $g=9,87\ \frac{м}{с^2}$
Маятники, изображенные на рис. 2, представляют собой протяженные тела различной формы и размеров, совершающие колебания около точки подвеса или опоры. Такие системы называются физическими маятниками. В состоянии равновесия, когда центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса (или опоры), сила тяжести уравновешивается (через упругие силы деформированного маятника) реакцией опоры. При отклонении из положения равновесия сила тяжести и упругие силы определяют в каждый момент времени угловое ускорение маятника, т. е. определяют характер его движения (колебания). Мы рассмотрим теперь динамику колебаний подробнее на простейшем примере так называемого математического маятника, который представляет собой грузик малого размера, подвешенный на длинной тонкой нити.
В математическом маятнике мы можем пренебречь массой нити и деформацией грузика, т. е. можем считать, что масса маятника сосредоточена в грузике, а упругие силы сосредоточены в нити, которую считают нерастяжимой. Посмотрим теперь, под действием каких сил происходит колебание нашего маятника после того, как он каким-либо способом (толчком, отклонением) выведен из положения равновесия.
Когда маятник покоится в положении равновесия, то сила тяжести, действующая на его грузик и направленная вертикально вниз, уравновешивается силой натяжения нити. В отклоненном положении (рис. 15) сила тяжести действует под углом к силе натяжения , направленной вдоль нити. Разложим силу тяжести на две составляющие: по направлению нити () и перпендикулярно к нему (). При колебаниях маятника сила натяжения нити несколько превышает составляющую - на величину центростремительной силы, которая заставляет груз двигаться по дуге. Составляющая же всегда направлена в сторону положения равновесия; она как бы стремится восстановить это положение. Поэтому ее часто называют возвращающей силой. По модулю тем больше, чем больше отклонен маятник.
Рис. 15. Возвращающая сила при отклонении маятника от положения равновесия
Итак, как только маятник при своих колебаниях начинает отклоняться от положения равновесия, скажем, вправо, появляется сила , замедляющая его движение тем сильнее, чем дальше он отклонен. В конечном счете эта сила его остановит и повлечет обратно к положению равновесия. Однако по мере приближения к этому положению сила будет становиться все меньше и в самом положении равновесия обратится в нуль. Таким образом, через положение равновесия маятник проходит по инерции. Как только он начнет отклоняться влево, опять появится растущая с увеличением отклонения сила , но теперь уже направленная вправо. Движение влево опять будет замедляться, затем маятник на мгновение остановится, после чего начнется ускоренное движение вправо и т. д.
Что происходит с энергией маятника при его колебаниях?
Два раза в течение периода - при наибольших отклонениях влево и вправо- маятник останавливается, т. е. в эти моменты скорость равна нулю, а значит, равна нулю и кинетическая энергия. Зато именно в эти моменты центр тяжести маятника поднят на наибольшую высоту и, следовательно, потенциальная энергия наибольшая. Наоборот, в моменты прохождения через положение равновесия потенциальная энергия наименьшая, а скорость и кинетическая энергия достигают наибольшего значения.
Мы предположим, что силами трения маятника о воздух и трением в точке подвеса можно пренебречь. Тогда по закону сохранения энергии эта наибольшая кинетическая энергия как раз равна избытку потенциальной энергии в положении наибольшего отклонения над потенциальной энергией в положении равновесия.
Итак, при колебаниях маятника происходит периодический переход кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем период этого процесса вдвое короче периода колебаний самого маятника. Однако полная энергия маятника (сумма потенциальной и кинетической энергий) все время постоянна. Она равна той энергии, которая была сообщена маятнику при пуске, безразлично - в виде ли потенциальной энергии (начальное отклонение) или в виде кинетической (начальный толчок).
Так обстоит дело при всяких колебаниях в отсутствие трения или каких-либо иных процессов, отнимающих энергию у колеблющейся системы или сообщающих ей энергию. Именно поэтому амплитуда сохраняется неизменной и определяется начальным отклонением или силой толчка.
Те же самые изменения возвращающей силы и такой же переход энергии мы получим, если вместо подвешивания шарика на нити заставим его кататься в вертикальной плоскости в сферической чашке или в изогнутом по окружности желобе. В этом случае роль натяжения нити возьмет на себя давление стенок чашки или желоба (трением шарика о стенки и воздух мы опять-таки пренебрегаем).
Тела под действием силы упругости, потенциальная энергия которой пропорциональна квадрату смещения тела из положения равновесия:
где k – жесткость пружины.При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии изменяются периодически. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины.
Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.
Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.
Для груза на пружине:
Запуск колебательного движения тела осуществляется с помощью кнопки Старт . Остановить процесс в любой момент времени позволяет кнопка Стоп .
Графически показано соотношение между потенциальной и кинетической энергиями при колебаниях в любой момент времени. Обратите внимание, что в отсутствие затухания полная энергия колебательной системы остается неизменной, потенциальная энергия достигает максимума при максимальном отклонении тела от положения равновесия, а кинетическая энергия принимает максимальное значение при прохождении тела через положение равновесия.