Механическая система, которая состоит из материальной точки (тела), висящей на нерастяжимой невесомой нити (ее масса ничтожно мала по сравнению с весом тела) в однородном поле тяжести, называется математическим маятником (другое название - осциллятор). Бывают и другие виды этого устройства. Вместо нити может быть использован невесомый стержень. Математический маятник может наглядно раскрыть суть многих интересных явлений. При малой амплитуде колебания его движение называется гармоническим.
Общие сведения о механической системе
Формула периода колебания этого маятника была выведена голландским ученым Гюйгенсом (1629-1695 гг.). Этот современник И. Ньютона очень увлекался данной механической системой. В 1656 г. он создал первые часы с маятниковым механизмом. Они измеряли время с исключительной для тех времен точностью. Это изобретение стало важнейшим этапом в развитии физических экспериментов и практической деятельности.
Если маятник находится в положении равновесия (висит отвесно), то будет уравновешиваться силой натяжения нити. Плоский маятник на нерастяжимой нити является системой с двумя степенями свободы со связью. При смене всего одного компонента меняются характеристики всех ее частей. Так, если нитку заменить на стержень, то у данной механической системы будет всего 1 степень свободы. Какими же свойствами обладает математический маятник? В этой простейшей системе под воздействием периодического возмущения возникает хаос. В том случае, когда точка подвеса не двигается, а совершает колебания, у маятника появляется новое положение равновесия. При быстрых колебаниях вверх-вниз эта механическая система приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». У нее есть и свое название. Ее называют маятником Капицы.
Свойства маятника
Математический маятник имеет очень интересные свойства. Все они подтверждаются известными физическими законами. Период колебаний любого другого маятника зависит от разных обстоятельств, таких как размер и форма тела, расстояние между точкой подвеса и центром тяжести, распределение массы относительно данной точки. Именно поэтому определение периода висящего тела является довольно сложной задачей. Намного легче вычисляется период математического маятника, формула которого будет приведена ниже. В результате наблюдений над подобными механическими системами можно установить такие закономерности:
Если, сохраняя одинаковую длину маятника, подвешивать различные грузы, то период их колебаний получится одинаковым, хотя их массы будут сильно различаться. Следовательно, период такого маятника не зависит от массы груза.
Если при запуске системы отклонять маятник на не слишком большие, но разные углы, то он станет колебаться с одинаковым периодом, но по разным амплитудам. Пока отклонения от центра равновесия не слишком велики, колебания по своей форме будут достаточно близки гармоническим. Период такого маятника никак не зависит от колебательной амплитуды. Это свойство данной механической системы называется изохронизмом (в переводе с греческого «хронос» - время, «изос» - равный).
Период математического маятника
Этот показатель представляет собой период Несмотря на сложную формулировку, сам процесс очень прост. Если длина нити математического маятника L, а ускорение свободного падения g, то эта величина равна:
Период малых собственных колебаний ни в какой мере не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний. В этом случае маятник двигается как математический с приведенной длиной.
Колебания математического маятника
Математический маятник совершает колебания, которые можно описать простым дифференциальным уравнением:
x + ω2 sin x = 0,
где х (t) - неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); ω - положительная константа, которая определяется из параметров маятника (ω = √g/L, где g - это ускорение свободного падения, а L - длина математического маятника (подвес).
Уравнение малых колебаний вблизи положення равновесия (гармоническое уравнение) выглядит так:
x + ω2 sin x = 0
Колебательные движения маятника
Математический маятник, который совершает малые колебания, двигается по синусоиде. Дифференциальное уравнение второго порядка отвечает всем требованиям и параметрам такого движения. Для определения траектории необходимо задать скорость и координату, из которых потом определяются независимые константы:
x = A sin (θ 0 + ωt),
где θ 0 - начальная фаза, A - амплитуда колебания, ω - циклическая частота, определяемая из уравнения движения.
Математический маятник (формулы для больших амплитуд)
Данная механическая система, совершающая свои колебания со значительной амплитудой, подчиняется более сложным законам движения. Для такого маятника они рассчитываются по формуле:
sin x/2 = u * sn(ωt/u),
где sn - синус Якоби, который для u < 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
где ε = E/mL2 (mL2 - энергия маятника).
Определение периода колебания нелинейного маятника осуществляется по формуле:
где Ω = π/2 * ω/2K(u), K - эллиптический интеграл, π - 3,14.
Движение маятника по сепаратрисе
Сепаратрисой называют траекторию динамической системы, у которой двумерное фазовое пространство. Математический маятник движется по ней непериодически. В бесконечно дальнем моменте времени он падает из крайнего верхнего положения в сторону с нулевой скоростью, затем постепенно набирает ее. В конечном итоге он останавливается, вернувшись в исходное положение.
Если амплитуда колебаний маятника приближается к числу π , это говорит о том, что движение на фазовой плоскости приближается к сепаратрисе. В этом случае под действием малой вынуждающей периодической силы механическая система проявляет хаотическое поведение.
При отклонении математического маятника от положения равновесия с некоторым углом φ возникает касательная силы тяжести Fτ = -mg sin φ. Знак «минус» означает, что эта касательная составляющая направляется в противоположную от отклонения маятника сторону. При обозначении через x смещения маятника по дуге окружности с радиусом L его угловое смещение равняется φ = x/L. Второй закон предназначенный для проекций и силы, даст искомое значение:
mg τ = Fτ = -mg sin x/L
Исходя из этого соотношения, видно, что этот маятник представляет собой нелинейную систему, поскольку сила, которая стремится вернуть его в положение равновесия, всегда пропорциональна не смещению x, а sin x/L.
Только тогда, когда математический маятник осуществляет малые колебания, он является гармоническим осциллятором. Иными словами, он становится механической системой, способной выполнять гармонические колебания. Такое приближение практически справедливо для углов в 15-20°. Колебания маятника с большими амплитудами не является гармоническим.
Закон Ньютона для малых колебаний маятника
Если данная механическая система выполняет малые колебания, 2-й закон Ньютона будет выглядеть таким образом:
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
Исходя из этого, можно заключить, что математического маятника пропорционально его смещению со знаком «минус». Это и является условием, благодаря которому система становится гармоническим осциллятором. Модуль коэффициента пропорциональности между смещением и ускорением равняется квадрату круговой частоты:
ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.
Эта формула отражает собственную частоту малых колебаний этого вида маятника. Исходя из этого,
T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.
Вычисления на основе закона сохранения энергии
Свойства маятника можно описать и при помощи закона сохранения энергии. При этом следует учитывать, что маятника в поле тяжести равняется:
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
Полная равняется кинетической или максимальной потенциальной: Epmax = Ekmsx = E
После того как будет записан закон сохранения энергии, берут производную от правой и левой частей уравнения:
Поскольку производная от постоянных величин равняется 0, то (Ep + Ek)" = 0. Производная суммы равняется сумме производных:
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/2*2v*v" = mv* α,
следовательно:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.
Исходя из последней формулы находим: α = - g/L*x.
Практическое применение математического маятника
Ускорение изменяется с географической широтой, поскольку плотность земной коры по всей планете не одинакова. Там, где залегают породы с большей плотностью, оно будет несколько выше. Ускорение математического маятника нередко применяют для геологоразведки. В его помощью ищут различные полезные ископаемые. Просто подсчитав количество колебаний маятника, можно обнаружить в недрах Земли каменный уголь или руду. Это связано с тем, что такие ископаемые имеют плотность и массу больше, чем лежащие под ними рыхлые горные породы.
Математическим маятником пользовались такие выдающиеся ученые, как Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед. Многие из них верили в то, что эта механическая система может влиять на судьбу и жизнь человека. Архимед использовал математический маятник при своих вычислениях. В наше время многие оккультисты и экстрасенсы пользуются этой механической системой для осуществления своих пророчеств или поиска пропавших людей.
Известный французский астроном и естествоиспытатель К. Фламмарион для своих исследований также использовал математический маятник. Он утверждал, что с его помощью ему удалось предсказать открытие новой планеты, появление Тунгусского метеорита и другие важные события. Во время Второй мировой войны в Германии (г. Берлин) работал специализированный Институт маятника. В наши дни подобными исследованиями занят Мюнхенский институт парапсихологии. Свою работу с маятником сотрудники этого заведения называют «радиэстезией».
Небольшой шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, способен совершать свободное колебательное движение (рис. 598).
рис. 598
Для описания движения маятника будем считать шарик материальной точкой, пренебрежем массой нити и сопротивлением воздуха. Такая модель называется математическим маятником
.
В качестве координаты, описывающей положение шарика, выберем угол отклонения нити от вертикали φ
. Для описания изменения этой координаты удобно использовать уравнение динамики вращательного движения
где J = ml 2
− момент инерции системы, ε = Δω/Δt
− угловое ускорение тела (вторая производная от угла поворота), M
− суммарный момент внешних сил действующих на систему 1 . На шарик действуют силы тяжести mg и натяжения нити. Момент силы натяжения нити N
относительно точки подвеса равен нулю, поэтому уравнение (1) для подвешенного шарика приобретает вид
или
Это уравнение описывает колебания маятника, но не является уравнением гармонических колебаний, так как момент сил пропорционален синусу угла отклонения, а не самому углу. Однако, если считать углы отклонения малыми (сколько это − мы выясним позднее), можно воспользоваться приближенной формулой sinφ ≈ φ
в этом приближении уравнение (3) превращается в знакомое уравнение гармонических колебаний
где Ω = √{g/l}
− круговая частота малых колебаний маятника 2 . Решение этого уравнения мы уже выписывали
здесь φ o
− максимальное отклонение нити, то есть амплитуда колебаний. Для простоты будем считать, что начальная скорость шарика равна нулю.
Период малых колебаний маятника выражается через круговую частоту
Так как малые колебания математического маятника являются гармоническими, то их период не зависят от амплитуды. Этот факт был экспериментально отмечен еще Г. Галилеем. При больших углах отклонения период колебаний математического маятника незначительно возрастает.
Отметим, что период колебаний математического маятника не зависит также от массы шарика − вспомните, ускорение свободного падения, а также другие характеристики движения тела в поле тяжести Земли также не зависят от массы тела (если, конечно, пренебрегать сопротивлением воздуха).
Формула (6) может быть использована и используется для экспериментального определения ускорения свободного падения. Длина нити и период колебаний достаточно просто измерить экспериментально, затем с помощью формулы (6) можно рассчитать ускорение свободного падения.
Попробуем описать движение математического маятника с помощью закона сохранения механической энергии. Кинетическая энергия шарика выражается формулой
Нулевой уровень отсчета потенциальной энергии совместим с точкой подвеса нити, тогда потенциальная энергия шарика равна
Уравнения закона сохранения механической энергии (с учетом начальных условий) имеет вид
Это уравнение также не является уравнением гармонических колебаний. Но, если мы опять будем считать углы отклонения маятника малыми и воспользуемся приближенной формулой
то уравнение (7) перейдет в уравнение гармонических колебаний
или
где обозначено Ω = √{g/l}
− круговая частота колебаний, совпадающая с полученной из динамического уравнения (2).
Конечно, такое совпадение не является случайным − фактически в обоих подходах мы использовали одно и то же приближение малых углов отклонения.
1 В принципе, можно использовать и уравнения динамики поступательного движения, но используемый здесь подход является предпочтительным, так как траекторией движения точки является дуга окружности.
2 Мы выбрали обозначение Ω (это тоже «омега», только заглавная) для собственной частоты малых колебаний, чтобы традиционное обозначение ω − оставить за угловой скоростью движения шарика, которая далее будет фигурировать в наших рассуждениях.
В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими ) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными .
Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике. Крылья насекомых и птиц в полете, высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни, звук - это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны - периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет - тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой, землетрясения - колебания почвы, биение пульса - периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д.
Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего.
Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Признаком колебательного движения является его периодичность .
Механические колебания – это движения, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые промежутки времени .
Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине (пружинный маятник) или шарик на нити (математический маятник).
При механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются.
При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль . В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения . Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.
Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия , его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией . Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии.
При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.
Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот .
Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при механических колебаниях остается неизменной.
Для груза на пружине :
В положении максимального отклонения полная энергия мятника равна потенциальной энергии деформированной пружины:
При прохождении положения равновесия полная энергия равна кинетической энергии груза:
Для малых колебаний математического маятника :
В положении максимального отклонения полная энергия мятника равна потенциальной энергии поднятого на высоту h тела:
При прохождении положения равновесия полная энергия равна кинетической энергии тела:
Здесь h m – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения Земли, x m и υ m = ω 0 x m – максимальные значения отклонения маятника от положения равновесия и его скорости.
Гармонические колебания и их характеристики. Уравнение гармонического колебания.
Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением
x = x m cos (ωt + φ 0).
Здесь x
– смещение тела от положения равновесия,
x m
– амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия,
ω – циклическая или круговая частота
колебаний,
t
– время.
Характеристики колебательного движения.
Смещение х – отклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Единица измерения – 1 метр.
Амплитуда колебаний А – максимальноеотклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Единица измерения – 1 метр.
Период колебаний T – минимальный интервал времени, за который происходит одно полное колебание, называется. Единица измерения – 1 секунда.
T=t/N
где t - время колебаний, N - количество колебаний, совершенных за это время.
По графику гармоническихколебаний можно определить период и амплитуду колебаний:
Частота колебаний ν – физическая величина, равная числу колебаний за единицу времени.
ν=N/t
Частота – величина, обратная периоду колебаний:
Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с.Единица частоты – герц (Гц).
Циклическая частота ω – число колебаний за 2π секунды.
Частота колебаний ν связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:
Фаза гармонического процесса – величина, стоящая под знаком синуса или косинуса в уравнении гармонических колебаний φ = ωt + φ 0 . При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой .
График гармонических колебаний представляет собой синусоиду или косинусоиду.
Во всех трех случаях для синих кривых φ 0 = 0:
только большей амплитудой (x" m > x m);
красная кривая отличается от синей только значением периода (T" = T / 2);
красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы (рад).
При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость движения тела определяется выражением
В математике процедура нахождения предела отношения Δх/Δt при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t ) по времени t и обозначается как x" (t ).Скорость равна производной функции х(t ) по времени t.
Для гармонического закона движения x = x m cos (ωt + φ 0) вычисление производной приводит к следующему результату:
υ х =x" (t )= ωx m sin (ωt + φ 0)
Аналогичным образом определяется ускорение a x тела при гармонических колебаниях. Ускорение a равно производной функции υ(t ) по времени t , или второй производной функции x (t ). Вычисления дают:
а х =υ х "(t) =x"" (t )= -ω 2 x m cos (ωt + φ 0)=-ω 2 x
Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).
На рисунке приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.
Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания.
Пружинный маятник.
Пружинным маятником называют груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно .
Собственная частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится по формуле:
Период T гармонических колебаний груза на пружине равен
Значит, период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза и от жесткости пружины.
Физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 и период T . Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.
Математический маятник.
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела.
В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити N. При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F τ = –mg sin φ. Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
Математический маятник.φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия,
x = lφ – смещение маятника по дуге
Собственная частота малых колебаний математического маятника выражается формулой:
Период колебаний математического маятника:
Значит, период колебаний математического маятника зависит отдлины нити и от ускорения свободного падения той местности, где установлен маятник.
Свободные и вынужденные колебания.
Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными .
Свободные колебания – это колебания, которые возникают в системе под действием внутренних сил, после того, как система была выведена из положения устойчивого равновесия.
Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями.
Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению .
В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими .
Затухающими называют колебания, амплитуда которых уменьшается со временем .
Чтобы колебания не затухали, необходимо сообщать системе дополнительную энегрию, т.е. воздействовать на колебательную систему периодической силой (например, для раскачивания качели).
Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными .
Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.
Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 .
Если свободные колебания происходят на частоте ω 0 , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы .
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты собственных колебаний с частотой внешней вынуждающей силы называется резонансом .
Зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой .
Резонансные кривые при различных уровнях затухания:
1 – колебательная система без трения; при резонансе амплитуда x m вынужденных колебаний неограниченно возрастает;
2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различным трением.
В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение, тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.
Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.
ЦЕЛЬ: экспериментально проверить закон сохранения энергии поступательно-вращательного движения на маятнике Максвелла; определить скорость поступательного движения маятника по энергетическим и кинематическим соотношениям и сравнить их.
ОБОРУДОВАНИЕ: маятник Максвелла со сменными кольцами; электронный секундомер.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Наиболее общей мерой движения материи является ее энергия. В механике это механическая энергия, соответствующая механическому движению тел. Различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную.
Потенциальная энергия . Энергия, определяемаявзаимным расположением взаимодействующих тел и зависящая только от координат, называется потенциальной. РаботаА 12 , совершаемая консервативными силами при переводе системы из одного состояния в другое, равна убыли потенциальной энергии в этих состояниях.
А 12 = W 1 - W 2 , (1)
где W 1 иW 2 соответственно потенциальная энергия системы в состояниях 1 и 2.
Конкретный вид потенциальной энергии зависит от характера силового поля. В поле силы тяжести потенциальная энергия тела массы m имеет вид:
W = m·g·h , (2)
где g ускорение свободного падения;
h высота, отсчитанная от уровня, где потенциальная энергияW =0.
Кинетическая энергия . Это энергия, которой обладает тело (либо система тел) благодаря их движению. В случае, если тело движется поступательно со скоростьюv и одновременно вращается вокруг некоторой оси с угловой скоростью , то полная кинетическая энергия его движения равна:
где m масса тела;
I момент инерции.
Как видно, при вращательном движении роль линейной скорости играет угловая скорость, а роль массы момент инерции. Момент импульсаI зависит не только от массы, но и от распределения этой массы относительно оси вращения. ЗначениеI для некоторых тел правильной геометрической формы (длинный стержень, диск, шар, цилиндр) приведены в учебниках по курсу общей физики.
Закон сохранения энергии . Механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют консервативные силы остается постоянной. В таких системах при движении тела происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, а полная энергия остается постоянной. (К консервативным силам относятся гравитационные, упругие, кулоновские и др.. Неконсервативными силами являются силы трения, сопротивления, неупругих деформаций.).
Механическая энергия сохраняется и в незамкнутых системах, если внешние силы не совершают работу, поскольку мерой измерения энергии является совершаемая работа.
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Проверка закона сохранения энергии поступательно-вращательного движения тела выполняется на маятнике Максвелла. Маятник Максвелла это диск, закрепленный на оси. Ось, в свою очередь, подвешена на двух нитях, закрепленных верхними концами на кронштейнах.
Эти нити могут наматываться на ось, а при раскручивании их маятник совершает поступательно-вращательное движение, т.е. поднимается и опускается, вращаясь.
В процессе эксперимента выделены два основных состояния. В состоянии 1 маятник массой m находится на высотеh . Механическая энергия системы в этом состоянии равна только потенциальной энергии:
E 1 = W 1 = m·g·h. (4)
Отпустим маятник. Под действием равнодействующей сил тяжести и натяжения нити он начинает падать вниз (поступательное движение), а силы натяжения нитей приведут его во вращательное движение.
Рис. 1. Общий вид маятника Максвелла.
Т - сила натяжения нити;F g - сила тяжести.
В состоянии 2 маятник, опустившийся с высоты h , движется поступательно с скоростьюv, вращаясь при этом вокруг оси, проходящей через центр масс с угловой скоростью .Следовательно, механическая энергия системы в состоянии 2 складывается из кинетических энергий поступательного и вращательного движения:
. (5)
В выделенной системе (маятник в поле сил тяжести) должен выполняться закон сохранения энергии. Сила тяжести консервативная сила. Сила натяжения нити является внешней силой. но она не совершает работы, т.к. ее точка приложения при малом повороте маятника остается на месте. Следовательно:
.
(6)
Скорость поступательного движения маятника связана с угловой скоростью соотношением
v = ·r, (7)
где r радиус оси маятника.
Тогда формула (6) примет вид:
2gh = v 2 (1+I/mr 2). (8)
А скорость поступательного движения маятника приобретает значение:
.
(9)
Для проверки закона сохранения энергии вычислим скорость другим независимым способом, используя известные кинематические соотношения. Т. к. движение маятника является равноускоренным, то, если за время падения t маятник прошел путьh , его ускорение равно
a = 2h / t 2 . (10)
Отсюда скорость поступательного движения маятника в конце пути:
v = a t = 2h/t. (11)
Скорость в (9) зависит от момента инерции маятника, который можно изменять, устанавливая на диск различные кольца. Момент инерции маятника определяется как
I = I 0 + I Д + I К. (12)
где I 0 - момент инерции оси,
- момент инерции диска,
- момент инерции кольца,
R Д , R К - радиусы диска и кольца.
Радиус кольца берется как среднее значение между внутренним и внешним радиусами. Так как радиус оси маятника значительно меньше радиуса диска, моментом инерции оси можно пренебречь.
Логическая схема метода.
Если скорость, определенная из закона сохранения энергии по соотношению (9) будет равна скорости, определенной кинематически по формуле (11), то это подтверждает сохранение энергии для выделенной системы.
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
1. Измерьте время падения маятника с одним из колец, указанных преподавателем.
2. Повторите измерения 5-10 раз.
3. Измерьте высоту падения и высоту подъема маятника.
4. Измерьте штангенциркулем диаметр оси маятника, внутренний и внешний диаметр кольца.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
1. Вычислите среднее значение времени
падения
2. Рассчитайте скорость v 1 по соотношению (11).
3. Вычислите погрешность измерения скорости v 1 по правилу вычисления погрешности для косвенных измерений.
4. Вычислите момент инерции маятника с кольцом. Массы диска и кольца нанесены на них.
5. Вычислите скорость маятника v 2 по соотношению (9).
6. Определите меру несовпадения = ( v 1 - v 2 )/ v 1 и сравните с относительной погрешностью v 1 = v 1 / v 1 .
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Определите потери энергии по разности между высотой падения и последующей высотой подъема маятника.
Вычислите среднюю эффективную силу трения, создающую потери энергии.
КОНТОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие существуют виды механической энергии? Дайте их определения.
2. Сформулируйте закон сохранения механической энергии системы и условия его выполнения.
3. Опишите превращение энергии для маятника Максвелла.
4. Что такое момент инерции тела? Чему равен момент инерции диска, кольца?
5. Как определяется скорость поступательного движения маятника Максвелла?
Основные понятия: затухающие колебания, свободные колебания, незатухающие колебания, вынужденные колебания, автоколебания .
Полная механическая энергия маятника E - сумма его потенциальной Е п = mgh и кинетической Е к = mυ 2 /2 энергий:
Е = Е п + Е к = mgh + mυ 2 /2. (1)
На рис.1 схематически представлено превращение потенциальной энергии математического маятника в кинетическую и наоборот.
Рис.1. Превращение энергии при колебательном движении математического маятника.
Когда маятник находится в т.А (точка, где смещение маятника от положения равновесия максимально), то его кинетическая энергия равна минимально возможному значению - нулю - Е к min = 0, а потенциальная энергия максимальна и равна E п max = mgh max . Таким образом, полная механическая энергия маятника в т.А в соответствии с (1) равна:
В точке А: Е = E п max + Е к min = mgh max + 0 = mgh max .
Когда маятник находится в какой-либо промежуточной точке между точками А (точка, где смещение маятника от положения равновесия максимально) и О (положение равновесия), то его полная механическая энергия E в соответствии с (1) равна:
В промежуточных точках: Е = Е п + Е к = mgh + mυ 2 /2 ,
Е п и Е к принимают некоторые промежуточные значения большие 0 и меньшие максимального значения: Е п = mgh < mgh max , Е к = mυ 2 /2 < mυ max 2 /2.
Когда маятник проходит точку О (положение равновесия), то его кинетическая энергия максимальна и равна Е к max = mυ max 2 /2, а потенциальная энергия в свою очередь теперь принимает нулевое значение Е п = 0:
В точке О: Е = E п min + Е к max = 0 + mυ max 2 /2 .
Таким образом, можно составить цепочку превращений одного вида энергии в другой при движении математического маятника от одной точки к другой (рис.1):
точка А -- точка N -- точка O -- точка M -- точка B --…..
E п max -- Е п + Е к -- Е к max -- Е’ п + Е’ к -- E п max -- …..
Е = Е п + Е к = mgh + mυ 2 /2 = Е к max = mυ max 2 /2 = E п max = mgh max (2)
Для пружинного маятника (рис.2) превращение энергии происходит аналогично.
Рис. 3. Автоколебательная система.
Перейти к следующему 34-му уроку: Распространение колебаний в среде. Волны.
Перейти к конспектов за 9 класс.