Своим внеочередным появлением данный раздел обязан многим и многим авторам, читая труды которых так и хотелось запустить оными трудами в самих писателей. Собственно, я планировал выложить данную тему полностью лишь по мере её окончательной готовности, однако ввиду слишком большого количества вопросов по ней, изложу некоторые моменты сейчас. Впоследствии материал будет дополнен и расширен. Начнём с определений.
Ряд вида $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$, где $u_n>0$, называется знакочередующимся.
Знаки членов знакочередующегося ряда строго чередуются:
$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+u_5-u_6+u_7-u_8+\ldots $$
Например, $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots$ - знакочередующийся ряд. Бывает, что строгое чередование знаков начинается не с первого элемента, однако для исследования на сходимость это несущественно.
Почему чередование знаков не с первого элемента является несущественным? показать\скрыть
Дело в том, что среди свойств числовых рядов есть утверждение, которое позволяет нам отбрасывать "лишние" члены ряда. Вот это свойство:
Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится любой из его остатков $r_n=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}u_k$. Отсюда следует, что отбрасывание или добавление к некоторому ряду конечного количества членов не изменяет сходимости ряда.
Пусть нам задан некий знакочередующийся ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$, и пусть для этого ряда выполнено первое условие признака Лейбница, т.е. $\lim_{n\to{\infty}}u_n=0$. Однако второе условие, т.е. $u_n≥u_{n+1}$, выполняется начиная с некоего номера $n_0\in{N}$. Если $n_0=1$, то мы получаем обычную формулировку второго условия признака Лейбница, посему ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$ будет сходиться. Если же $n_0>1$, то разобьём ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$ на две части. В первую часть выделим все те элементы, номера которых меньше $n_0$:
$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n=\sum\limits_{n=1}^{n_0-1}(-1)^{n+1}u_n+\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n $$
Для ряда $\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$ выполнены оба условия признака Лейбница, поэтому ряд $\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$ сходится. Так как сходится остаток, то будет сходиться и исходный ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$.
Таким образом, совершенно неважно, выполнено ли второе условие признака Лейбница, начиная с первого, или же с тысячного элемента - ряд всё равно будет сходиться.
Отмечу, что признак Лейбница является достаточным, но не необходимым условием сходимости знакочередующихся рядов. Иными словами, выполнение условий признака Лейбница гарантирует сходимость ряда, но невыполнение оных условий не гарантирует ни сходимости, ни расходимости. Разумеется, невыполнение первого условия, т.е. случай $\lim_{n\to{\infty}}u_n\neq{0}$, означает расходимость ряда $\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$, однако невыполнение второго условия может произойти как для сходящегося, так и расходящегося ряда.
Так как знакочередующиеся ряды частенько встречаются в стандартных типовых расчётах, то я составил схему, по которой можно исследовать на сходимость стандартный знакочередующийся ряд.
Разумеется, можно напрямую применять признак Лейбница, минуя проверку сходимости ряда из модулей. Однако для стандартных учебных примеров проверка ряда из модулей необходима, так как большинство авторов типовых расчетов требуют не просто выяснить, сходится ряд или нет, а определить характер сходимости (условная или абсолютная). Перейдем к примерам.
Пример №1
Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{4n-1}{n^2+3n}$ на сходимость.
Для начала выясним, действительно ли данный ряд знакочередующийся. Так как $n≥1$, то $4n-1≥3>0$ и $n^2+3n≥4>0$, т.е. при всех $n\in{N}$ имеем $\frac{4n-1}{n^2+3n}>0$. Таким образом, заданный ряд имеет вид $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$, где $u_n=\frac{4n-1}{n^2+3n}>0$, т.е. рассматриваемый ряд - знакочередующийся.
Обычно такая проверка делается устно, однако пропускать её крайне нежелательно: ошибки в типовых расчётах нередки. Часто бывает, что знаки членов заданного ряда начинают чередоваться не с первого члена ряда. В этом случае можно отбросить "мешающие" члены ряда и исследовать сходимость остатка (см. примечание в начале этой страницы).
Итак, нам задан знакочередующийся ряд. Будем следовать вышеприведённой . Для начала составим ряд из модулей членов данного ряда:
$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{4n-1}{n^2+3n}\right| =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{n^2+3n} $$
Проверим, сходится ли составленный ряд из модулей. Применим признак сравнения . Так как при всех $n\in{N}$ имеем $4n-1=3n+n-1≥3n$ и $n^2+3n≤n^2+3n^2=4n^2$, то:
$$ \frac{4n-1}{n^2+3n}≥ \frac{3n}{4n^2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{n} $$
Гармонический ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, поэтому будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{n}\right)$. Следовательно, согласно признаку сравнения ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{n^2+3n}$ расходится. Обозначим $u_n=\frac{4n-1}{n^2+3n}$ и проверим, выполнены ли условия признака Лейбница для исходного знакочередующегося ряда. Найдём $\lim_{n\to{\infty}}u_n$:
$$ \lim_{n\to{\infty}}u_n =\lim_{n\to{\infty}}\frac{4n-1}{n^2+3n} =\lim_{n\to{\infty}}\frac{\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{3}{n}} =0. $$
Первое условие признака Лейбница выполнено. Теперь нужно выяснить, выполнено ли неравенство $u_n≥u_{n+1}$. Немалое количество авторов предпочитает записать несколько первых членов ряда, а затем сделать вывод, что неравенство $u_n≥u_{n+1}$ выполнено.
Иными словами, это "доказательство" для данного ряда имело бы такой вид: $\frac{2}{3}≤\frac{5}{8}≤\frac{8}{15}≤\ldots$. После сравнения нескольких первых членов делается вывод: для остальных членов неравенство сохранится, каждый последующий будет не более предыдущего. Откуда взялся этот "метод доказательства" я не знаю, но он ошибочен. Например, для последовательности $v_n=\frac{10^n}{n!}$ получим такие первые члены: $v_1=10$, $v_2=50$, $v_3=\frac{500}{3}$, $v_4=\frac{1250}{3}$. Как видите, они возрастают, т.е., если ограничиться сравнением нескольких первых членов, то можно сделать вывод, что $v_{n+1}>v_n$ для всех $n\in{N}$. Однако такой вывод будет категорически неверным, так как начиная с $n=10$ элементы последовательности будут убывать.
Как же доказать неравенство $u_n≥u_{n+1}$? В общем случае для этого есть несколько способов. Самый простой в нашем случае - рассмотреть разность $u_n-u_{n+1}$ и выяснить её знак. В следующем примере рассмотрим иной способ: посредством доказательства убывания соответствующей функции.
$$ u_n-u_{n+1} =\frac{4n-1}{n^2+3n}-\frac{4(n+1)-1}{(n+1)^2+3(n+1)} =\frac{4n-1}{n^2+3n}-\frac{4n+3}{n^2+5n+4}=\\ =\frac{(4n-1)\cdot\left(n^2+5n+4\right)-\left(n^2+3n\right)\cdot(4n+3)}{\left(n^2+3n\right)\cdot\left(n^2+5n+4\right)} =\frac{4n^2+2n-4}{\left(n^2+3n\right)\cdot\left(n^2+5n+4\right)}. $$
Так как $n≥1$, то $4n^2-4≥0$, откуда имеем $4n^2+2n-4>0$, т.е. $u_n-u_{n+1}>0$, $u_n>u_{n+1}$. Бывает, конечно, что неравенство $u_n≥u_{n+1}$ выполняется не с первого члена ряда, однако это несущественно (см. в начале страницы).
Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены. Так как при этом ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{4n-1}{n^2+3n}\right|$ расходится, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{4n-1}{n^2+3n}$ сходится условно.
Ответ : ряд сходится условно.
Пример №2
Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$ на сходимость.
Для начала рассмотрим выражение $\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$. Стоит произвести небольшую проверку корректности условия. Дело в том, что очень часто в условиях стандартных типовых расчётов можно встретить ошибки, когда подкоренное выражение является отрицательным, или же в знаменателе при некоторых значениях $n$ появляется ноль.
Дабы избежать таких неприятностей, произведём простенькое предварительное исследование. Так как при $n≥1$ имеем $2n^3≥2$, то $2n^3-1≥1$, т.е. выражение под корнем не может быть отрицательным или равняться нулю. Следовательно, условие вполне корректно. Выражение $\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$ определено при всех $n≥1$.
Добавлю, что при $n≥1$ верно неравенство $\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}>0$, т.е. нам задан знакочередующийся ряд. Будем исследовать его согласно вышеприведённой . Для начала составим ряд из модулей членов данного ряда:
$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}\right| =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}} $$
Проверим, сходится ли ряд, составленный из модулей членов заданного ряда. Применим признак сравнения . В решении предыдущего примера мы применяли первый признак сравнения. Здесь же, сугубо для разнообразия, применим второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме). Сравним ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$ с расходящимся рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$:
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{5n\sqrt{n}-4\sqrt{n}}{\sqrt{2n^3-1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5n\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}-\frac{4\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{2n^3-1}{n^3}}} \lim_{n\to\infty}\frac{5-\frac{4}{n}}{\sqrt{2-\frac{1}{n^3}}} =\frac{5}{\sqrt{2}}. $$
Так как $\frac{5}{\sqrt{2}}\neq{0}$ и $\frac{5}{\sqrt{2}}\neq\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$.
Итак, абсолютной сходимости заданный знакочередующийся ряд не имеет. Обозначим $u_n=\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$ и проверим, выполнены ли условия признака Лейбница. Найдём $\lim_{n\to{\infty}}u_n$:
$$ \lim_{n\to{\infty}}u_n =\lim_{n\to{\infty}}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}} =\lim_{n\to{\infty}}\frac{\frac{5n}{n^{\frac{3}{2}}}-\frac{4}{n^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{\frac{2n^3-1}{n^3}}} =\lim_{n\to{\infty}}\frac{\frac{5}{\sqrt{n}}-\frac{4}{n^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{2-\frac{1}{n^3}}} =0. $$
Первое условие признака Лейбница выполнено. Теперь нужно выяснить, выполнено ли неравенство $u_n≥u_{n+1}$. В прошлом примере мы рассмотрели один из способов доказательства этого неравенства: посредством выяснения знака разности $u_n-u_{n+1}$. В этот раз обратимся к иному способу: вместо $u_n=\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$ рассмотрим функцию $y(x)=\frac{5x-4}{\sqrt{2x^3-1}}$ при условии $x≥1$. Отмечу, что поведение данной функции при условии $x<1$ нам совершенно безразлично.
Наша цель состоит в том, чтобы доказать невозрастание (или убывание) функции $y(x)$. Если мы докажем, что функция $y(x)$ является невозрастающей, то для всех значений $x_2>x_1$ будем иметь $y(x_1)≥y(x_2)$. Полагая $x_1=n$ и $x_2=n+1$ получим, что из неравенства $n+1>n$ последует истинность неравенства $y(n)≥y(n+1)$. Так как $y(n)=u_n$, то неравенство $y(n)≥y(n+1)$ есть то же самое, что и $u_{n}≥u_{n+1}$.
Если же мы покажем, что $y(x)$ - убывающая функция, то из неравенства $n+1>n$ последует истинность неравенства $y(n)>y(n+1)$, т.е. $u_{n}>u_{n+1}$.
Найдём производную $y"(x)$ и выясним её знак для соответствующих значений $x$.
$$ y"(x)=\frac{(5x-4)"\cdot\sqrt{2x^3-1}-(5x-4)\cdot\left(\sqrt{2x^3-1}\right)"}{\left(\sqrt{2x^3-1}\right)^2} =\frac{5\cdot\sqrt{2x^3-1}-(5x-4)\cdot\frac{1}{2\sqrt{2x^3-1}}\cdot{6x^2}}{2x^3-1}=\\ =\frac{5\cdot\left(2x^3-1\right)-(5x-4)\cdot{3x^2}}{\left(2x^3-1\right)^{\frac{3}{2}}} =\frac{-5x^3+12x^2-5}{\left(2x^3-1\right)^{\frac{3}{2}}} $$
Полагаю, очевидно, что при достаточно больших положительных значениях $x≥1$ многочлен в знаменателе будет меньше нуля, т.е. $-5x^3+12x^2-5<0$. Эту "очевидность" несложно обосновать формально - если вспомнить курс алгебры. Дело в том, что согласно лемме о модуле старшего члена, при достаточно больших значениях $|x|$ знак многочлена совпадает с знаком его старшего члена. Адаптируясь к нашей задаче получаем, что существует такое число $c≥1$, то для всех $x≥c$ будет верным неравенство $-5x^3+12x^2-5<0$. В принципе, существования такого числа $c$ уже вполне достаточно для дальнейшего решения задачи.
Однако давайте подойдём к вопросу менее формально. Дабы не привлекать лишних лемм из алгебры, просто грубо оценим значение выражения $-5x^3+12x^2-5$. Учтём $-5x^3+12x^2-5=x^2(-5x+12)-5$. При $x≥3$ имеем $-5x+12<0$, посему $x^2(-5x+12)-5<0$.
Таким образом, при $x≥3$ имеем $y"(x)<0$, т.е. функция $y(x)$ убывает. А это, в свою очередь, означает, что при $n≥3$ верно неравенство $u_n>u_{n+1}$, т.е. второе условие признака Лейбница выполнено. Разумеется, мы показали выполнение второго условия не с $n=1$, а с $n=3$, но это несущественно (см. в начале страницы).
Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены. Так как при этом ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}\right|$ расходится, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{4n-1}{n^2+3n}$ сходится условно.
Ответ : ряд сходится условно.
Пример №3
Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}$ на сходимость.
Данный пример не представляет большого интереса, поэтому я распишу его коротко. Нам задан знакочередующийся ряд, который вновь станем исследовать по . Составим ряд из модулей членов данного ряда:
$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}\right| =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2^n} $$
Применим признак Д"Аламбера . Обозначая $u_n=\frac{3n+4}{2^n}$, получим $u_{n+1}=\frac{3n+7}{2^{n+1}}$.
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n+7}{2^{n+1}}}{\frac{3n+4}{2^n}} =\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{3n+7}{3n+4} =\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{7}{n}}{3+\frac{4}{n}} =\frac{1}{2}\cdot{1}=\frac{1}{2}. $$
Так как $\frac{1}{2}<1$, то согласно признаку Д"Аламбера ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится. Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}\right|$, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится, причём сходится абсолютно.
Отмечу, что для решения заданного примера нам не потребовался признак Лейбница. Именно поэтому удобно сперва проверить сходимость ряда из модулей, а потом уже, при необходимости, исследовать сходимость исходного знакочередующегося ряда.
Ответ : ряд сходится абсолютно.
Ряд называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные , так и отрицательные.
Знакочередующиеся ряды – частный случай знакопеременного ряда.
Теорема 1.
Если знакопеременный ряд (1)
таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов
(2)
сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.
Данная теорема позволяет судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. Исследование в данном случае сводится к исследованию ряда с положительными членами.
Данная теоремаявляется достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.
Определение:
Знакопеременный ряд (1)
называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: (2)
Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то данный знакопеременный ряд(1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.
Теорема 2:
Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.
Теорема 3:
Если ряд сходится условно, то какое бы мы ни задали число А , можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся.
Пример:
Исследовать числовой ряд
Решение:
Исследуем данный числовой знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость, для чего составим ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда:
Исследуем полученный числовой ряд с положительными
членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним
данный ряд с обобщенным
гармоническим рядом
. Так как
, то ряд сходится.
Следовательно, оба ряда вместе сходятся.
Так как числовой ряд из абсолютных величин членов нашего знакочередующегося ряда сходится, то знакочередующийся числовой ряд сходится абсолютно.
Ответ: Ряд сходится абсолютно.
Пример .
Исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимость.
Решение:
Знакочередующийся числовой ряд.
Воспользуемся признаком Лейбница:
То есть члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.
Следовательно, знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
Составим ряд из модулей членов нашего знакочередующегося ряда:
Исследуем полученный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом .
Следовательно, оба ряда вместе расходятся.
Таким образом, сам знакочередующийся ряд сходится, а ряд из его модулей расходится. Следовательно, наш знакочередующийся числовой ряд сходится условно.
Ответ: Ряд сходится условно.
Ряд называется знакопеременным , если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные члены.
Составим ряд из модулей членов этого ряда:
Получился положительный ряд.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда: если сходится ряд, образованный из модулей членов данного знакопеременного ряда, то сходится и данный ряд.
В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся .
Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся .
Пример .Исследовать ряд на сходимость.
Решение . Данный ряд знакопеременный, т.к. sinn может быть как положительным, так и отрицательным при различных n .
Составим ряд из модулей его членов:
Этот ряд положительный, поэтому его можно исследовать с помощью признака сравнения. Так как ≤ , а ряд сходится по признаку Даламбера (см. п. 4.2.3.3. ). Значит, ряд с меньшими членами также сходится, а данный ряд сходится абсолютно.
Все привыкли думать, что сумма не зависит от порядка слагаемых. И это действительно так, когда речь идёт о конечном числе слагаемых. С бесконечными суммами, т.е. с рядами, нужно быть осторожнее. Оказывается, сумма ряда может меняться при изменении порядка его членов, еслиряд сходится условно . Покажем это на примере знакочередующегося гармонического ряда.
Пример . Известна сумма такого ряда:
В данном ряде переставим местами слагаемые, воспользовавшись тем, что их бесконечно много:
Получилось, что число равно его половине, т.е. абсурд. Так произошло потому, что исходный ряд был условно сходящимся (действительно, ряд, составленный из модулей его членов, является гармоническим и расходится), а для такого ряда сумма может зависеть от порядка слагаемых. И, безусловно, для конечной суммы подобная перестановка была бы невозможна, потому что мы брали в скобках одно положительное слагаемое и два отрицательных, и тогда отрицательные члены закончились бы быстрее.
Кстати, при другой какой-то перестановке можно было получить и иной результат. Например, если в скобках поставить два положительных слагаемых и одно следующее отрицательное, то сумма будет такой:
Для условно сходящихся рядов справедлива теорема Римана : посредством надлежащего изменения порядка членов не абсолютно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий наперёд заданную сумму, или даже расходящийся ряд.
4.3.1. Знакочередующиеся ряды
Рассмотрим ряд
Где все > 0. Такой ряд называется знакочередующимся , и он является частным случаем знакопеременного ряда.
Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница ): если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена ряда.
Следствие . Остаток ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого члена остатка. Это свойство используется в приближённых вычислениях функций, интегралов и т.д.
Доказательство. Запишем, к примеру, частичную сумму ряда, состоящую из чётного числа слагаемых:
Так как по условию члены ряда убывают, то все скобки здесь положительны. И получается, что, с одной стороны, возрастает с ростом k , а с другой, не превышает первого члена а 1 . По теореме Больцано-Вейерштрасса имеет предел.
При исследовании сходимости знакопеременного ряда следует сначала использовать признак Лейбница, а затем проверить, сходится ли ряд, составленный из модулей членов этого ряда. После этого сделать вывод, сходится ряд абсолютно или условно.
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Этот ряд знакочередующийся. Члены ряда обладают следующими свойствами:
1) модули членов ряда монотонно убывают: > > > … ;тоже расходится.
Получилось, что исходный ряд сходится, а ряд из модулей расходится. Следовательно, исходный ряд является условно сходящимся.
Определение
Ряд называется знакопеременным , если он содержит как положительные, так и отрицательные члены.
Пример 16. Ряды
,
,
являются знакопеременными.
Знакочередующиеся ряды, очевидно, являются частным случаем знакопеременных рядов.
Для
знакопеременного ряда
возникает вопрос о связи его сходимости
со сходимостью знакоположительного
ряда 
.
ТЕОРЕМА 9 (Признак абсолютной сходимости)
Если
сходится ряд
,
то сходится и ряд
.
Доказательство.
Из сходимости ряда
по
свойству 3 сходящихся рядов следует
сходимость ряда
.
Действительно, поскольку
,
где
,
то по первому признаку сравнения сходится
и ряд
.
Отсюда
следует, что ряд
также сходится, так как является
алгебраической суммой двух сходящихся
рядов.
В
доказанной теореме сформулирован
достаточный
признак сходимости
ряда
.
Обратное утверждение в общем случае
неверно.
Определения
Если
сходится ряд
,
то ряд
называется
абсолютно
сходящимся.
Если
же ряд
сходится, а ряд
расходится, то ряд
называется
условно
сходящимся
.
Пример
17.
.
Общий
член этого ряда
.
Так как
,
то ряд
расходится, ибо он является рядом
Дирихле, в котором
.
Ряд
согласно признаку Лейбница сходится.
Следовательно, исследуемый ряд сходится
условно.
Пример
18.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Этот
ряд сходится абсолютно, так как ряд
–
сходящийся
ряд Дирихле.
При исследовании знакочередующихся рядов на сходимость можно рассуждать по следующей схеме:
Ранее отмечалось, что в знакоположительных рядах можно произвольным образом переставлять и группировать члены. В знакопеременных рядах, если они абсолютно сходятся, это свойство сохраняется. Для условно сходящихся рядов дело обстоит иначе. Здесь группировка, перестановка членов ряда может нарушить сходимость ряда. Например, если из знакочередующегося условно сходящегося ряда выделить положительные члены, то полученный ряд может расходиться. Следует иметь в виду это обстоятельство и с условно сходящимися рядами обращаться с большой осторожностью. Для условно сходящихся рядов справедлива следующая теорема Римана.
ТЕОРЕМА 10
Изменяя порядок членов в условно сходящемся ряде, можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу и даже сделать ряд расходящимся.
К
примеру, если в ряде
провести перестановку членов, то ряд
можно представить в виде
Итак, сумма рассматриваемого ряда уменьшилась вдвое. Это происходит потому, что при условной сходимости осуществляется взаимное погашение положительных и отрицательных членов и, следовательно, сумма ряда зависит от порядка расположения членов, а при абсолютной сходимости ряда этого не происходило.
Пример
19.
Исследовать на сходимость ряд
.
Данный
ряд знакочередующийся. Исследуем ряд,
составленный из модулей его членов,
т.е. ряд
.
Используя признак Коши, получаем
Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
Функциональные ряды Функциональный ряд и его область сходимости
Пусть
,
,...,
,...
–
последовательность функций, определенных
на некотором множестве
.
Определение
Ряд вида
,
(14)
членами которого являются функции, называется функциональным .
Придавая
в (14)
различные числовые значения из множества
,
будем получать различные числовые ряды.
В частности, при
из (14) получим числовой ряд
.
Этот числовой ряд может быть сходящимся
или расходящимся. Если он сходится, то
называетсяточкой
сходимости функционального ряда
(14) .
Множество
всех точек сходимости функционального
ряда называют его
областью
сходимости
и обозначают ее через
.
Очевидно,
.
В частных случаях множество
может совпадать или не совпадать с
множеством
или же может быть и пустым множеством.
В последнем случае функциональный ряд
расходится в каждой точке множества
.
Вид
области
для произвольного функционального ряда
может быть различным: вся числовая ось,
интервал, объединение интервалов и
полуинтервалов и т.д. В простейших
случаях при исследовании функциональных
рядов на сходимость можно применить
рассмотренные выше признаки сходимости
числовых рядов, если подx
понимать фиксированное число.
Определения
Сумма
первых
членов функционального ряда
называется
ой
частичной суммой
,
а функция
,
определенная в области
,–
суммой
функционального ряда
.
Функция
,
определенная в области
,
называется
остатком
ряда
.
Функциональный
ряд называется
абсолютно
сходящимся
на множестве
,
если в каждой точке
сходится ряд
.
Ряд (1) называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.
Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда ). Пусть задан знакопеременный ряд
a 1 + a 2 + … +a n + …. (13)
Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
|a 1 | + |a 2 | + … + |a n | +… , (14)
сходится, то сходится и данный ряд (13).
Ряд (13) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (14), составленный из абсолютных величин членов ряда (13). Если же знакопеременный ряд (13) сходится, а ряд (14) расходится, то ряд (13) называется условно или неабсолютно сходящимся .
a 1 – a 2 + a 3 – a 4 +… + a n + …., (15)
где , называется знакочередующимся.
Теорема (признак Лейбница ). Знакочередующийся ряд (15) сходится, если абсолютные величины его членов не возрастают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:
Замечание 1 . При решении задач на исследование сходимости ряда полезно знать особенности поведения следующих рядов:
1. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии : сходится при и расходится при , q – знаменатель прогрессии;
2. Обобщенный гармонический ряд : сходится при и расходится при . В частном случае () получаем гармонический ряд , который расходится.
Замечание 2. Если ряд (15) удовлетворяет условиям признака Лейбница, то ошибка, совершаемая при замене S на S n , не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Это свойство используется для приближенных вычислений.
Задание 1
Решение. Так как (второй замечательный предел), то в силу следствия из необходимого признака сходимости ряда получаем, что данный ряд расходится.
Задание 2 .
Решение . Выясним поведение данного ряда с помощью признака сравнения. Для этого сравним его с рядом (это – обобщенный гармонический ряд, который сходится, так как ). Имеем:
и, следовательно, из сходимости ряда по признаку сравнения следует сходимость и данного ряда.
Задание 3 . Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Выясним поведение данного ряда с помощью предельного признака сравнения. Сравним данный ряд с рядом (это - гармонический ряд, который расходится). Имеем:
и, следовательно, ряды и данный ведут себя одинаково. Таким образом, по предельному признаку сравнения исследуемый ряд расходится.
Задание 4. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Имеем:
Тогда . Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Задание 5. Исследовать на сходимость ряд .
Решение . Применим к данному ряду признак Коши. Имеем:
и, следовательно, в силу признака Коши данный ряд сходится.
Задание 6 . Исследовать на сходимость ряд .
Решение . Применим к данному ряду интегральный признак Коши. Имеем:
Для исследования исходного ряда на условную сходимость применим к нему признак Лейбница. Имеем:
1) и очевидно, что
Следовательно, условия признака Лейбница выполнены. Таким образом, исходный ряд сходится условно.